Родился в селе Мартыновка Ростовской области 3 мая 1889 года. После окончания Гражданской войны возглавил совхоз «Красный Маяк» в Ленинском районе, параллельно учился на заочном отделении сельскохозяйственного института.

В сентябре 1938 года прибыл на строительство МКГЗ в качестве начальника коммунального отдела и секретаря партийной организации строительства завода. С началом Великой Отечественной войны Т.И. Лемешко возглавил 13-й авиационный склад, разместившийся на территории завода. В 1947 году Тимофей Игнатьевич был назначен на должность заведующего лесопарковым хозяйством, обязанности которого добросовестно исполнял в течение десяти лет. Изучив план застройки заводской территории и рабочих поселков, Т.И. Лемешко составил план озеленения, согласно которому при активном участии всех жителей рабочего поселка было высажено 35 тысяч деревьев и более 170 тысяч кустарников.

В 1957 году имя Тимофея Игнатьевича Лемешко занесено в Книгу Почета МКГЗ.

Т.И. Лемешко скончался в 1966 году. В память о человеке, благодаря которому завод и город утопают в кольце парков и скверов, в зелени деревьев и газонов, в 1967 году улица Северная города Видное переименована в улицу Лемешко.

Решением Совета депутатов звание «Почетный гражданин Ленинского района» присвоено Тимофею Игнатьевичу Лемешко в 2000 году (посмертно).

9 сентября 2007 года на доме № 6 по ул. Лемешко установлена мемориальная доска.